深度优先遍历与广度优先遍历

图是一种复杂的非线性结构,它由边(边Edge)和点(顶点Vertex)组成。一条边连接的两个点称为相邻顶点。

G = (V, E)

图分为:

  • 有向图
  • 无向图

本文探讨的是无向图

图的表示

图的表示一般有以下两种:

  • 邻接矩阵:使用二维数组来表示点与点之间是否有边,如 arr[i][j] = 1表示节点 i 与节点 j 之间有边,arr[i][j] = 0表示节点 i 与节点 j 之间没有边
  • 邻接表:邻接表是图的一种链式储存结构,这种结构类似树的子链表,对于图中的每一个顶点Vi,把所有邻接于Vi的顶点Vj链成一个单链表,这个单链表就是顶点Vi的邻接表,单链表一般由数组或字典结构表示。

创建图

下面声明图类,Vertex 用数组结构表示,Edge 用 map结构表示

function Graph() {
    this.vertices = [] // 顶点集合
    this.edges = new Map() // 边集合
}
Graph.prototype.addVertex = function(v) { // 添加顶点方法
    this.vertices.push(v)
    this.edges.set(v, [])
}
Graph.prototype.addEdge = function(v, w) { // 添加边方法
    let vEdge = this.edges.get(v)
    vEdge.push(w)
    let wEdge = this.edges.get(w)
    wEdge.push(v)
    this.edges.set(v, vEdge)
    this.edges.set(w, wEdge)
}
Graph.prototype.toString = function() {
    var s = ''
    for (var i=0; i<this.vertices.length; i++) {
        s += this.vertices[i] + ' -> '
        var neighors = this.edges.get(this.vertices[i])
        for (var j=0; j<neighors.length; j++) {
            s += neighors[j] + ' '
        }
        s += '\n'
    }
    return s
}

测试:

var graph = new Graph()
var vertices = [1, 2, 3, 4, 5]
for (var i=0; i<vertices.length; i++) {
    graph.addVertex(vertices[i])
}
graph.addEdge(1, 4); //增加边
graph.addEdge(1, 3);
graph.addEdge(2, 3);
graph.addEdge(2, 5);

console.log(graph.toString())
// 1 -> 4 3 
// 2 -> 3 5 
// 3 -> 1 2 
// 4 -> 1 
// 5 -> 2

测试成功

图的遍历

两种遍历算法:

  • 深度优先遍历
  • 广度优先遍历

深度优先遍历(DFS)

深度优先遍历(Depth-First-Search),是搜索算法的一种,它沿着树的深度遍历树的节点,尽可能深地搜索树的分支。当节点v的所有边都已被探寻过,将回溯到发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已探寻源节点到其他所有节点为止,如果还有未被发现的节点,则选择其中一个未被发现的节点为源节点并重复以上操作,直到所有节点都被探寻完成。

简单的说,DFS就是从图中的一个节点开始追溯,直到最后一个节点,然后回溯,继续追溯下一条路径,直到到达所有的节点,如此往复,直到没有路径为止。

DFS 可以产生相应图的拓扑排序表,利用拓扑排序表可以解决很多问题,例如最大路径问题。一般用堆数据结构来辅助实现DFS算法。

注意:深度DFS属于盲目搜索,无法保证搜索到的路径为最短路径,也不是在搜索特定的路径,而是通过搜索来查看图中有哪些路径可以选择。

步骤:

  • 访问顶点v
  • 依次从v的未被访问的邻接点出发,对图进行深度优先遍历;直至图中和v有路径相通的顶点都被访问
  • 若此时途中尚有顶点未被访问,则从一个未被访问的顶点出发,重新进行深度优先遍历,直到所有顶点均被访问过为止

实现:

Graph.prototype.dfs = function() {
    var marked = []
    for (var i=0; i<this.vertices.length; i++) {
        if (!marked[this.vertices[i]]) {
            dfsVisit(this.vertices[i])
        }
    }
    
    function dfsVisit(u) {
        let edges = this.edges
        marked[u] = true
        console.log(u)
        var neighbors = edges.get(u)
        for (var i=0; i<neighbors.length; i++) {
            var w = neighbors[i]
            if (!marked[w]) {
                dfsVisit(w)
            }
        }
    }
}

测试:

graph.dfs()
// 1
// 4
// 3
// 2
// 5

测试成功

广度优先遍历(BFS)

广度优先遍历(Breadth-First-Search)是从根节点开始,沿着图的宽度遍历节点,如果所有节点均被访问过,则算法终止,BFS 同样属于盲目搜索,一般用队列数据结构来辅助实现BFS

BFS从一个节点开始,尝试访问尽可能靠近它的目标节点。本质上这种遍历在图上是逐层移动的,首先检查最靠近第一个节点的层,再逐渐向下移动到离起始节点最远的层

步骤:

  • 创建一个队列,并将开始节点放入队列中
  • 若队列非空,则从队列中取出第一个节点,并检测它是否为目标节点
    • 若是目标节点,则结束搜寻,并返回结果
    • 若不是,则将它所有没有被检测过的字节点都加入队列中
  • 若队列为空,表示图中并没有目标节点,则结束遍历

实现:

Graph.prototype.bfs = function(v) {
    var queue = [], marked = []
    marked[v] = true
    queue.push(v) // 添加到队尾
    while(queue.length > 0) {
        var s = queue.shift() // 从队首移除
        if (this.edges.has(s)) {
            console.log('visited vertex: ', s)
        }
        let neighbors = this.edges.get(s)
        for(let i=0;i<neighbors.length;i++) {
            var w = neighbors[i]
            if (!marked[w]) {
                marked[w] = true
                queue.push(w)
            }
        }
    }
}

测试:

graph.bfs(1)
// visited vertex:  1
// visited vertex:  4
// visited vertex:  3
// visited vertex:  2
// visited vertex:  5

测试成功